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... à ce moment-là théorie des groupes est peut-être un mot ménage, et j'ai vu une occasion de mettre en place un groupe théorie à la logique mathématique.

En fait, l'Eglise est seulement un an de plus que Foster, qui est devenu son premier doctorat étudiant, et il a commencé à superviser Foster l'année même où il a reçu son doctorat. Il règne une certaine confusion dans la littérature que la question de savoir si l'Église ou Veblen supervisé Foster, mais il a expliqué la position exacte dans une interview:

... Je travaille officiellement avec l'Eglise, mais Veblen est plus insistante sur l'orientation que par moi Eglise.

Foster a présenté son doctorat thèse de logique formelle en termes finis à l'Université de Princeton en 1930 et la mesure a reçu l'année suivante. Il a écrit un papier de logique formelle en termes finis, sur la base de sa thèse, qui a été publié en 1931 dans les Annales de mathématiques.

Foster mariés Else Wagner en 1930 après avoir présenté sa thèse. Ils se sont rendus en Allemagne où Foster a entrepris une année de post-études à Göttingen. Il a été une année au cours de laquelle il est tombé en amour avec le style d'enseignement et de recherche entrepris, et il aurait une incidence sur lui dans le reste de sa carrière. La Grande Dépression a commencé en 1929 alors que Foster a travaillé pour son doctorat et en 1932, après avoir terminé ses études en Allemagne, un quart des travailleurs aux États-Unis étaient au chômage. Toutefois Foster a eu la chance dans ces moments extrêmement difficiles:

... à Princeton à ce moment-là, Joel Hildebrandt a été de dépistage pour le département à Berkeley, qui n'a pas été très forte au début années. Hildebrandt a dépistage dans tout le pays. Quand il était à Princeton, il a interrogé le long de moi avec d'autres. Eisenhart ... m'a donné une forte recommandation de Hildebrandt, et quelque temps plus tard, j'ai reçu une offre de Berkeley.

À leur retour aux États-Unis encourage le rendu en voiture à travers le pays à Berkeley où Alfred a continué ses études et a également entrepris certaines enseignement.

Griffith Evans a été nommé à l'Université de Californie à Berkeley en 1933 et a reçu le mandat explicite afin de revitaliser et d'améliorer le département de mathématiques et de mettre en place un programme d'études supérieures. Au cours de l'été 1934 Evans a commencé sa tâche à Berkeley en tant que président du département de mathématiques, et l'un de ses premiers gestes a été de nommer Foster à la Faculté. Sauf pour plusieurs périodes de congé d'études, principalement à Fribourg et Tübingen, Foster a continué de travailler à Berkeley jusqu'à sa retraite en 1971. Alfred et Else Foster élevé leurs deux fils et deux filles à Berkeley.

Foster, comme un étudiant de l'Église, naturellement a commencé sa carrière de chercheur travaillant dans la logique mathématique. Mais grâce à un intérêt naturel dans algèbre de Boole et booléens anneaux, il a déménagé vers un intérêt dans des structures algébriques. Par exemple, en 1941, il publie Les systèmes naturels: la structure de résumé monotone séquences. Dans le présent document, il définit un "système naturel, avec l'unité", à être un système abstrait (N), où N est un denumerable et un fonctionnement binaire (produit), de sorte que le produit de deux éléments de N est unique et en N, associatif et tenir des lois commutatives, il ya une seule et même unité, il ya au moins un premier et unique factorisation en premiers détient. En 1944, avec son collègue Benjamin Bernstein, il a publié approche symétrique à commutative rings, avec théorème de dualité: Booléen dualité comme cas particulier, dans le Duke Mathematical Journal. Également en 1944 Foster publié naturelles ordres qui, selon ses propres termes, était écrit:

... pour étudier [la] arithmétique [des entiers positifs] afin de faire la multiplication ... de base [au lieu d'addition] et seulement avec modération ... admettre de nouvelles opérations ... jusqu'à ce qu'il soit défini.

Son travail sur la généralisation de booléens anneaux a culminé dans son article classique La théorie des booléens-qui sonne comme il a publié dans les Transactions of the American Mathematical Society en 1946. Dieudonné explique ce que signifie Foster booléens par un anneau de type:

Un "booléens-comme" anneau est un anneau commutatif H avec l'unité élément tel que a + a = 0 pour tous dans un H et à partir de (a + b + ab) = à partir de deux éléments a, b de H. Le principal propriétés de ces anneaux sont

1. un ⁴ = un ^2, un pour tous en H;

2. les éléments nilpotent de H forme un idéal n tel que le produit de deux éléments de N est égale à 0;

3. l'idempotent éléments de H forme un booléen subring J de H et chaque élément de H peut être exprimé dans une et une seule manière comme une somme de un idempotent et d'un élément nilpotent.

Foster a de définir le concept d'un muscle généralisation de l'algèbre un algèbre de Boole dans la théorie des variétés des algèbres universel. En 1953 a montré que la variété engendrée par une algèbre primaire a la même structure fondamentale que la variété des algèbres booléens. Il a continué de consacrer ses efforts à la structure des algèbres de théorie qui sont des généralisations et algèbres booléens, plus de dix ans après en 1966, il a publié des familles avec des algèbres unique (sous-) direct factorisation. Equational caractérisation de factorisation dans Mathematische Annalen. Automorphismes une autre étude et l'exhaustivité fonctionnelle universel algebras. I. automorphismes générale, la structure la théorie et la caractérisation qui figurait dans le même journal en 1989:

... est une continuation d'une longue série d'articles par [Foster] et ses étudiants qui enquête sur la factorisation unique dans certaines catégories de résumé algebras. Comme [Foster] remarques, articles précédents ont examiné tous les algèbres avec automorphismes trivial groupes, ce document commence enquête sur les algèbres avec des groupes plus larges de automorphismes.

Leon Henkin, John Kelley, et Alden Pixley ont apporté une esquisse de Foster's caractère et les intérêts:

Alfred Foster, bien que quelque peu formelle et socialement timide, restera dans les mémoires comme ville chaleureuse, bonne humeur, généreuse et sans condition, de tous qui le connaissaient. Plusieurs de ses anciens élèves, en lui rappelant, ont ostensiblement utilisé le mot "gentleman" dans la description de son personnage. Son style d'enseignement est plutôt ancienne, dans un très bon sens, et a probablement été influencée par son admiration pour les universités d'Allemagne, qui a développé au cours de ses visites. Ses anciens élèves sont souvent surpris et flatté qu'il rappeler les ans après la classe de contact, et qu'il avait un intérêt dans leur vie. ... Musique et politique étaient d'un intérêt particulier pour lui, et dans ce dernier domaine, il a occupé profonde et moralement fondée condamnations. D'autre part, et conformément à sa personnalité, il ne se livrent pas très visible dans l'action politique. Avec les mathématiques, Foster a pris l'grandes questions actuelles de la science et la culture humaine très au sérieux. Un facteur clé de son personnage est qu'il n'a jamais eu lui-même à peu près au sérieux.

Foster subi une intervention chirurgicale au printemps de 1994. À ce moment-là il était près de 90 ans et il n'a jamais complètement guéri. Ses désirs ont été qu'il soit incinéré et ses cendres dispersées en mer comme ils ont été le 5 Janvier 1995.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland